题目内容
如图1，在平面直角坐标系中，已知等腰△AOB顶点A的坐标是（2，1），AO=AB．（1）求点B的坐标．
（2）过点B作BC⊥OA，交OA的延长线于点C，一等腰直角三角尺如图2摆放，它的直角顶点为D，一条直角边与AB边重合，另一条直角边恰好过点O．
①请你通过观察，猜想OD与BC满足的数量关系，并证明你的猜想．
②当三角尺沿AB方向平移到图3所示的位置时，一条直角边仍与AB重合，另一条直角边交OB于点E，过E点作EF⊥OA于点F．请你猜想并证明EF，ED与BC之间满足的数量关系．
分析：（1）欲求B点坐标，则求等腰三角形底边OB的长度即可．过点A作底边的垂线，根据等腰三角形三线合一的性质解答；
（2）①DO=BC．根据“AAS”证明△AOD≌△ABC；
②DE+EF=BC．
证法一：借鉴①的思路，过点E作EG⊥BC于G点，交AB于H点．易得：△DEH≌△GBH，DE=BG；四边形EFCG是矩形，
EF=CG．
证法二：运用“等积法”证明．连接AE，则S△AOE+S△ABE=S△AOB．分别把AO、AB当作三角形的底边，EF、DE、BC看作相应的高表示面积求解．
（2）①DO=BC．根据“AAS”证明△AOD≌△ABC；
②DE+EF=BC．
证法一：借鉴①的思路，过点E作EG⊥BC于G点，交AB于H点．易得：△DEH≌△GBH，DE=BG；四边形EFCG是矩形，
EF=CG．
证法二：运用“等积法”证明．连接AE，则S△AOE+S△ABE=S△AOB．分别把AO、AB当作三角形的底边，EF、DE、BC看作相应的高表示面积求解．
解答：
解：（1）过A作AM⊥OB于M．
∵A的坐标是（2，1），
∴OM=2．
又∵AO=AB，
∴OB=4．（2分）
∴B的坐标是（4，0）．（3分）
（2）①OD=BC．（4分）
证明：在△ODA与△BCA中，
，
∴△ODA≌△BCA．（AAS）
∴OD=BC．（7分）
②DE+EF=BC．（8分）
方法一：连接AE．
S△ABO=
OA．BC，
S△ABO=S△ABE+S△AEO
=
AB．DE+
OA．EF，
=
OA（DE+EF），
∴DE+EF=BC．（10分）
方法二：过点E作EG⊥BC，G为垂足，交AB于点H．
再利用△DEH≌△GBH得到DE=BG．
解：（1）过A作AM⊥OB于M．∵A的坐标是（2，1），
∴OM=2．
又∵AO=AB，
∴OB=4．（2分）
∴B的坐标是（4，0）．（3分）
（2）①OD=BC．（4分）
证明：在△ODA与△BCA中，
|
∴△ODA≌△BCA．（AAS）
∴OD=BC．（7分）
②DE+EF=BC．（8分）
方法一：连接AE．
S△ABO=
| 1 |
| 2 |
S△ABO=S△ABE+S△AEO
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
∴DE+EF=BC．（10分）
方法二：过点E作EG⊥BC，G为垂足，交AB于点H．
再利用△DEH≌△GBH得到DE=BG．
点评：此题考查等腰三角形的性质及三角形全等的判定和性质等知识点，综合性较强．
练习册系列答案
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23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
在平面直角坐标系中，将一块腰长为
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点，点
再绕着点
点，这时点
与点
为旋转中心时，点
点，点
点，点
点,小明发现P、
两点关于点
中心对称.
、
、
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到点
. 继续如此操作若干次得到点
，则点
的坐为．
，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），