Question

如图①，反比例函数y=

k

x

（x＜0）图象经过点A（-1，b），过点A作AB⊥x轴于B，△AOB的面积为

3

2

．
（1）求k和b的值．
（2）若一次函数y=-

3

3

x+m的图象经过点A，并且与x轴交与点M，求M的值．
（3）如图②，在x轴上是否存在点P，使△PAM为等腰三角形？若存在，求出所有的P点，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据三角形面积公式得到

1

2

×1×b=

3

2

，则可求出b=

3

，从而可确定A点坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值；
（2）把A点坐标代入一次函数解析式求出m的值，然后根据x轴上点的坐标特征求M点的坐标；
（3）先计算出AM的长，再分类讨论：当MP=MA=2

3

时，根据x轴上点的坐标特征写出P点坐标；当AP=AM时，P点与M点关于AB对称，易得此时P点坐标；当PA=PM时，由于OA=OM=2，所以此时P点坐标为（0，0）．

解答：解：（1）∵△AOB的面积为

3

2

，
∴

1

2

×1×b=

3

2

，
∴b=

3

，
∴A（-1，

3

），
∴k=-1×

3

=-

3

，
（2）把A（-1，

3

）代入y=-

3

3

x+m得

3

3

+m=

3

，解得m=

2 3

3

，
∴一次函数解析式为y=-

3

3

x+

2 3

3

，
当y=0时，-

3

3

x+

2 3

3

=0，解得x=2，
∴M点的坐标为（2，0）；
（3）存在．
∵A（-1，

3

），M（2，0）；
∴MA=

(2+1)2+( 3 )2

=2

3

，
当MP=MA=2

3

时，P点坐标为（2+2

3

，0）或（2-2

3

，0）；
当AP=AM时，P点坐标为（-4，0）；
当PA=PM时，P点坐标为（0，0），
综上所述，当P点坐标为（2+2

3

，0）或（2-2

3

，0）或（-4，0）或（0，0）时，△PAM为等腰三角形．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会应用等腰三角形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．