Question

如图，边长是5的正方形ABCD内，半径为2的⊙M与边DC和CB相切，⊙N与⊙M外切于点P，并且⊙N与边DA和AB相切．EF是两圆的内公切线，点E和F分别在DA和AB上，则⊙N的半径等于

 

，EF的长等于

 

．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；设⊙N的半径为λ，证明AN=

2

λ，MC=2

2

；根据题意得到

2

λ+2+λ+2

2

=5

2

，求出λ，即可解决问题．

解答：解：如图，连接AC、NP、NQ；
由圆和正方形的对称性及题意得：
点M、N、P均在对角线AC上，
∵⊙N与正方形ABCD相切，
∴NP⊥AP，NQ⊥AQ，而∠A=90°，NP=NQ，
∴四边形APNQ为正方形；设⊙N的半径为λ，
则由勾股定理得：AN=

2

λ；同理可求MC=2

2

；
∵⊙N与⊙M外切于点P，
∴MN=2+λ；由勾股定理得：AC=5

2

，
∴

2

λ+2+λ+2

2

=5

2

，
解得：λ=5-2

2

，
故答案为5-2

2

．
由题意得：∠EAP=∠FAP=45°，AP⊥EF，
∴∠AEP=∠AFP=45°，
∴AE=AF，AP为直角△AEF的斜边上的中线，
∴EF=2AP=2（λ+

2

λ）=6

2

+2．
故答案为6

2

+2．

点评：该题主要考查了相切两圆的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用相切两圆的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．