Question

如图所示，∠AOB=90°，OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠BOC=30°．求：
（1）∠DOE的度数；
（2）若没有绘出∠BOC的度数，你能否求出∠DOE的度数？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB=α，求∠DOE的度数，你能从中发现什么规律？

Answer 1

解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，
∵OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线，
∴∠COE=∠AOC=×120°=60°，
∠COD=∠BOC=×30°=15°，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=60°-15°=45°；

（2）若∠BOC的度数没有给出，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+∠BOC，
∵OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线，
∴∠COE=∠AOC=×（90°+∠BOC）=45°+∠BOC，
∠COD=∠BOC，
∴∠DOE=∠COE-∠COD=45°+∠BOC-∠BOC=45°；

（3）由图可知，∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∵OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线，
∴∠COE=∠AOC=（∠AOB+∠BOC），
∠COD=∠BOC，
∴∠DOE=（∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB，
∵∠AOB=α，
∴∠DOE=α．
规律：无论∠BOC的大小如何变化，∠DOE始终为∠AOB的一半．
分析：（1）先求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠COE、∠COD，然后根据∠DOE=∠COE-∠COD代入数据进行计算即可得解；
（2）根据（1）的求解，∠AOC不用度数进行整理即可；
（3）根据（1）的思路求出∠DOE=∠AOB．
点评：本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图，在不同情况下表示出∠COE和∠COD是解题的关键．