Question

在正方形ABCD中，将一块直角三角板的直角顶点放在对角线AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交线段AB、BC于D、E两点.如图1是旋转三角板后所得到图形中的1种情况.

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合如图1加以证明.

（2）若将三角板的直角顶点放在对角线AC上的M处，且AM∶MC＝2∶5，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.

Answer 1

解：（1）连结PB.因为四边形ABCD是正方形，P是AC的中点，

所以CP＝PB，BP⊥AC，∠ABP＝∠ABC＝45°，

即∠ABP=∠ACB＝45°．           

又因为∠DPB+∠BPE＝∠BPE+∠CPE＝90°，

所以∠DPB＝∠CPE，即△PBD≌△PCE．

所以PD＝PE．            

（2）MD∶ME＝2∶5.

过点M作MF⊥AB，MH⊥BC，垂足分别是F、H，

所以MH∥AB，MF∥BC，即四边形BFMH是平行四边形.    

  因为∠B＝90°，

所以□BFMH是矩形．        

即∠FMH＝90°，MF＝BH．

因为BH：HC＝AM：MC ＝2：5，

而HC＝MH，所以＝2：5．

因为∠DMF+∠DMH＝∠DMH+∠EMH＝90°，

所以∠DMF＝∠EMH．因为∠MFD＝∠MHE＝90°，

所以△MDF∽△MHE，       

所以＝＝2：5．