Question

14．设a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，求（$\frac{a{b}^{2}+{b}^{2}-3a+1}{a}$）²的值．

Answer 1

分析 先把等式b⁴-2b²-1=0两边除以b⁴变形得到（$\frac{1}{{b}^{2}}$）²+2•（$\frac{1}{b}$）²-1=0，于是可把a和$\frac{1}{{b}^{2}}$看作方程x²+2x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到a+$\frac{1}{{b}^{2}}$=-2，a•$\frac{1}{{b}^{2}}$=-1，则ab²+1=-2b²，a=-b²，然后利用整体代入的方法计算所求代数式的值．

解答 解：∵b⁴-2b²-1=0，
∴1-2•（$\frac{1}{b}$）²-（$\frac{1}{{b}^{2}}$）²=0，
即（$\frac{1}{{b}^{2}}$）²+2•（$\frac{1}{b}$）²-1=0，
而a²+2a-1=0，
∴a和$\frac{1}{{b}^{2}}$可看作方程x²+2x-1=0的两根，
∴a+$\frac{1}{{b}^{2}}$=-2，a•$\frac{1}{{b}^{2}}$=-1，
∴ab²+1=-2b²，a=-b²，
∴原式=（$\frac{-2{b}^{2}+{b}^{2}+3{b}^{2}}{-{b}^{2}}$）²
=（-2）²
=4．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．