题目内容
如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＞CD，对角线AC、BD交于点O，OE⊥BC于E．（1）若BC=AB+CD，求证：CD=CE；
（2）取BC的中点F，若BC=10，OE+OF=5，求AB+CD的值．
分析：（1）由CD∥OE∥AB得到
=
①，
=
②，然后①+②得
+
=1，然后变形得到OE=
=
，接着利用BC=AB+CD即可求解；
（2）设EF=x，则BE=5+x，CE=5-x，代入①得到AB=
OE，同理CD=
OE，接着得到AB+CD=
OE，再利用勾股定理OE2+EF2=OF2得到OE=
，由此即可证明AB+CD=10．
| OE |
| AB |
| CE |
| BC |
| OE |
| CD |
| BE |
| BC |
| OE |
| AB |
| OE |
| CD |
| AB•CD |
| AB+CD |
| AB•CD |
| BC |
（2）设EF=x，则BE=5+x，CE=5-x，代入①得到AB=
| 10 |
| 5-x |
| 10 |
| 5+x |
| 100 |
| 25-x2 |
| 25-x2 |
| 10 |
解答：（1）证明：∵CD∥OE∥AB，
∴
=
①，
=
②，
∴①+②得：
+
=1，
∴OE=
=
，
代入①得
=
，
∴CD=CE．
（2）解：设EF=x，则BE=5+x，CE=5-x，
∴
=
=
，
∴AB=
OE，
同理CD=
OE，
∴AB+CD=
OE，
∵OE2+EF2=OF2，
即OE2+x2=（5-OE）2，
∴OE=
，
∴AB+CD=10．
∴
| OE |
| AB |
| CE |
| BC |
| OE |
| CD |
| BE |
| BC |
∴①+②得：
| OE |
| AB |
| OE |
| CD |
∴OE=
| AB•CD |
| AB+CD |
| AB•CD |
| BC |
代入①得
| CD |
| BC |
| CE |
| BC |
∴CD=CE．
（2）解：设EF=x，则BE=5+x，CE=5-x，
∴
| OE |
| AB |
| CE |
| BC |
| 5-x |
| 10 |
∴AB=
| 10 |
| 5-x |
同理CD=
| 10 |
| 5+x |
∴AB+CD=
| 100 |
| 25-x2 |
∵OE2+EF2=OF2，
即OE2+x2=（5-OE）2，
∴OE=
| 25-x2 |
| 10 |
∴AB+CD=10．
点评：本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键，然后避免错选其他答案．
练习册系列答案
相关题目
已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O切DC边于E点，AD=3cm，BC=5cm．求⊙O的面积．
（2013•深圳二模）如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2．
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．
ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．