Question

8．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，则EF与AE的位置关系垂直．若将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图a、图b、图c），其它条件不变，则EF与AE的位置关系是垂直请结合图c加以说明．

Answer 1

分析 两种情况EF与AE的位置关系是垂直；理由为：延长AE交BC的延长线于点G，由ABCD为平行四边形，得到AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由一对对顶角相等及DE=CE，利用ASA得到三角形ADE与三角形ECG全等，由全等三角形的对应角、对应边相等得到一对角相等，一对边相等，再由已知角相等，等量代换及等角对等边得到AF=CF，利用三线合一即可得证．

解答 解：如图1，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，EF与AE的位置关系是垂直；
若将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图a、图b、图c），其它条件不变，则EF与AE的位置关系是垂直；
证明：延长AE交BC的延长线于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
∵E为DC的中点，
∴DE=EC，
在△ADE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECG}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠GEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE=GE，∠DAE=∠G，
∵∠FAE=∠DAE，
∴∠FAE=∠G，
∴FA=FG，
∴EF⊥AE．
故答案为：垂直；垂直．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形、矩形的性质，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．