Question

如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．
（1）求证：AB=CD；
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AD的长．

Answer 1

证明：（1）过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，

∵OE平分∠AEC，
∴OM=ON，
∴=，-=-，即，
∴AB=CD．
（2）∵OM⊥AD，
∴AM=DM，
∵AD⊥CB，OE平分∠AEC，
∴∠OEM=45°，
∴∠OME=45°，
∴∠OEM=∠EOM，
∴OM=ME，
在Rt△AOM中，OA²=OM²+AM²，即25=（AM-1）²+AM²，
解得：AM=4或AM=-3（舍去）
故AD的长为8．
分析：（1）过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，从而得出OM=ON，根据垂径定理可得出=，然后可得=，继而得出结论．
（2）先判断OM=ME，然后利用勾股定理得出AM的方程，解出后，根据AD=2AM，即可得出答案．
点评：本题考查了勾股定理、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系，属于基础题，注意一些基本定理及性质的掌握．