Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，

   ∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．

（1）写出点B的坐标；

（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并

    求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，

    问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出的m值；

    如不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）B（1，3），           （1分）

（2）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，

在Rt△ABC和Rt△ADB中，

∵∠BAC=∠DAB，

∴Rt△ABC∽Rt△ADB，

∴D点为所求，

又tan∠ADB=tan∠ABC=，

∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷，

∴OD=OC+CD=1+=，

∴D（ ，0）；              （4分）

 

（3）这样的m存在．           

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，

如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，

则=，

解得m=，               （6分）

如图2，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，

则=，

解得m=．                        (9分)

故存在m的值是或时，使得△APQ与△ADB相似．（10分）