Question

1．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过$\widehat{BC}$的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB．

（1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据垂径定理得到PG⊥BC，则BD垂直平分OP，于是可判断△OBP为等边三角形，所以∠BOP=60°，然后估计圆周角定理得到∠BAC=∠BOP=60°；
（2）连接KB，GB、PA，如图2，先判定四边形BPCK为平行四边形得到PB=CK，PB∥CK，再判断四边形APBG为平行四边形得到PB=AG，PB∥AG，则CK=AG，CK∥AG然后判断四边形AGCK是平行四边形；
（3）如图3，先估计三角形中位线性质得DE∥PB，即DH∥PB，再判定△ODH为等腰三角形得到OD=OH，接着证明△OBD≌△HOP，则∠OHP=∠ODB=90°．所以PH⊥AB．

解答 （1）解：如图1，
∵AB为⊙O直径，点P是$\widehat{BC}$的中点，
∴PG⊥BC，即∠ODB=90°．
∵D为OP的中点，
∴BD垂直平分OP，
∴BP=BO，
而OB=OP，
∴△OBP为等边三角形，
∴∠BOP=60°，
∴∠BAC=∠BOP=60°；
（2）证明：连接KB，GB、PA，如图2，
由（1）知，CD=BD，
∵DK=DP，
∴四边形BPCK为平行四边形，
∴PB=CK，PB∥CK，
∵PA=OB，OG=OP，
∴四边形APBG为平行四边形，
∴PB=AG，PB∥AG，
∴CK=AG，CK∥AG，
∴四边形AGCK是平行四边形；
（3）证明：如图3，
∵CE=PE，CD=BD，
∴DE∥PB，即DH∥PB，
而△OPB为等腰三角形，
∴△ODH为等腰三角形，
∴OD=OH，
在△ODB和△OHP中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OH}\\{∠BOD=∠POH}\\{OB=OP}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△HOP（SAS），
∴∠OHP=∠ODB，
而BC⊥DG，
∴∠OHP=∠ODB=90°．
∴PH⊥AB．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等边三角形的判定与性质；灵活应用平行四边形的判定与性质；会应用全等三角形的知识解决角相等的问题．