Question

12．如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=10，点B在反比例函数y=$\frac{12}{x}$图象上，且点B的横坐标为3．
（1）求OB的长；
（2）求过点A的双曲线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由点B的横坐标为3，代入y=$\frac{12}{x}$得到点B的纵坐标，解直角三角形即可；
（2）要求函数的解析式只要求出点A的坐标就可以，过点A作AC⊥x轴，根据条件得到△ACO∽△ODB，得到$\frac{AC}{OD}=\frac{OC}{BD}=\frac{AO}{OB}=\frac{10}{5}$=2，求得点A的坐标，然后用待定系数法即可．

解答 解：（1）过点B作BD⊥x轴于D，
∵点B在反比例函数y=$\frac{12}{x}$图象上，且点B的横坐标为3，
∴y=4，
∴BD=4，OD=3，
∴OB=$\sqrt{{BD}^{2}+O{D}^{2}}$=5；

（2）过点A作AC⊥x轴于C，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠CAO=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴$\frac{AC}{OD}=\frac{OC}{BD}=\frac{AO}{OB}=\frac{10}{5}$=2，
∴AC=6，OC=8，
∴A（-6，8），
设过A 的反比例函数的解析式为：y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-48，
∴过点A的双曲线的解析式y=-$\frac{48}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．