Question

在等腰三角形ABC中，AO⊥BC于点O，AB=AC=6，∠ABC=30°，以BC所在的直线为x轴，以AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将与△ABC重合的△DEF（点D与点A、点E与点B、点F与点C分别重合）沿x轴向右平移，当点E与点O重合时，停止移动，然后将△DEF绕点O逆时针旋转，当ED与y轴的正半轴重合时，停止转动（如图1）．

（1）F点的坐标为：（

 

，

 

）．
（2）将△DEF沿x轴向左平移，当点E与点B重合时，停止移动，在移动过程中，ED与AB相交于点H，EF与CA的延长线相交于点G（如图2所示），设BE=m，以A、H、E、G为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（3）如图3，△DEF的顶点E在△ABC的BC边上移动，ED经过点A，过A、E、C三点作⊙O₁交EF于点M，连结CM．
①当⊙O₁与AB相切时，求⊙O₁的半径．
②设点M的坐标为（x，y），请求出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，对应边相等，根据锐角三角函数中的正弦、余弦，可得答案；
（2）根据等腰三角形的三线合一，可得直角三角形，根据勾股定理，可得OA的长、BO的长，EH的长，根据两锐角互余，可得三角形是直角三角形，根据锐角三角函数，可得CG的长，分类讨论：当2

3

＜m＜3

3

时，根据面积的差，可得答案；当0＜m＜2

3

时，根据面积的和，可得答案；
（3）①根据垂径定理，可得AR的长，根据切线的性质，可得∠BAO₁的度数，根据与弦函数，可得答案；②根据同弧所对的圆周角，可得∠AEM与∠MCA的关系，根据正切函数，可得答案．

解答：解：（1）作EG⊥BC与G点，如图中的图1：

在等腰三角形ABC中，AO⊥BC于点O，AB=AC=6，∠ABC=30°，
∴OA=3，OC=BO=3

3

，BC=6

3

，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠DOF=30°，EF=BG=6

3

，
∠EOG=60，
EG=EFcos∠FOG═6

3

×

1

2

=3

3

，
FG=EFsin∠FOG=6

3

×

3

2

=9，
∴F点的坐标为（3

3

，9），
故答案为：（3

3

，9）；
（2）在△ABC中，∵AB=AC=6，∠ABC=30°，
∴OA=3，OC=BO=3

3

，BC=6

3

，∠ACB=∠ABC=30°，∠BAC=120°．
∵HE⊥BC，∠ABC=30°，BE=m，∴EH=

3

3

m．
∵∠DEF=∠ACB=30°，
∴∠GEC=60°，∠C=30°，
∴∠EGC=90°．
∴在Rt△EGC中，
EC=6

3

-m，EG=

1

2

EC=

6 3 -m

2

，CG=ECcos30°=

3 (6 3 -m)

2

．
①当2

3

＜m＜3

3

时，S_{四边形AHEG}=S_△ABC-S_△BEH-S_△EGC
=

1

2

BC•OA-

1

2

BE•EH-

1

2

EG•CG=

1

2

×6

3

×3-

1

2

m•

3

3

m-

1

2

•

6 3 -m

2

•

3( 6 3 -m)

2

即S_{四边形AHEG}=-

7 3

24

m2+

9

2

m-

9 3

2

．②当0＜m＜2

3

时，
如图中的图1，过H点作HQ⊥GE，垂足为Q，

则  HQ=

1

2

EH=

3

6

m，
AG=CG-AC=

3 (6 3 -m)

2

-6．
S_{四边形AGHE}=S_△HEG+S_△GEA
=

1

2

EG•HQ+

1

2

EG•AG
=

1

2

×

6 3 -m

2

×

3 m

6

+

1

2

×

6 3 -m

2

×[

3 (6 3 -m)

2

-6]
即S_{四边形AGHE}=

3

12

m2-

9

4

m+

9 3

2

；
（3）①如图中的图3，连接O₁A和O₁C，过点O₁作O₁R⊥AC，垂足为R，

∴O1A=O1C，AR=

1

2

AC=

1

2

×6=3．
当AB与⊙O₁相切时，∠BAO₁=90°
∴∠O₁AC=120°-90°=30°．
∴cos∠O1AC=cos30°=

AR

O1A

=

3

O1A

∴O1A=2

3

，
即⊙O₁的半径是2

3

；
②如图，过点M作MH⊥BC于点H，
∴OH=x，MH=y．
∵

AM

=

AM

，
∴∠AEM=∠MCA=30°．
∵∠ACB=30°，
∴∠MCH=60°
∴tan∠MCH=tan60°=

MH

HC

=

y

OC-OH

3

=

y

3 3 -x

，
∴y=-

3

x+9．

点评：本题考查了圆的综合题，利用了垂径定理，切线的性质，同弧所对的圆周角相等，锐角三角函数，题目稍有难度．