Question

我们知道：“在三角形的每个顶点处各取一个外角，它们的和就是这个三角形的外角和”．
（1）猜想三角形的外角和是多少度？证明你的结论；
（2）如果将三角形三条边都向两边延长，并且在每条线上任取两点连接起来，那么在原三角形外又得到三个新三角形，如图所示，猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？并用（1）的结论证明你的猜想．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先利用三角形外角性质得到∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC，再把它们相加，然后根据三角形内角和可得到∠1+∠2+∠3=360°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠AGM=∠A+∠B，∠MNF=∠E+∠F，∠DMN=∠C+∠D，再由（1）中的结论即可得出结果．

解答：（1）三角形的外角和等于360°．
证明：如图所示，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠ABC+∠ACB，
同理得∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3=（∠ABC+∠ACB）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ACB+∠BAC），
=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．

（2）猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
证明：∵∠AGM是△ABG的外角，
∴∠AGM=∠A+∠B．
∵∠MNF是△EFN的外角，
∴∠MNF=∠E+∠F．
∵∠DMN是△CDM的外角，
∴∠DMN=∠C+∠D．
∵∠AGM，∠MNF，∠DMN是△GMN的外角，
∴∠AGM+∠MNF+∠DMN=360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

点评：本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．