Question

19．如图所示，在△ABC=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求DC的长；
（3）求△ACF与△BDF的周长之和是多少？

Answer 1

分析 （1）根据旋转角的定义进行解答；
（2）根据旋转的性质得到∠CBD=60°，BC=BD，然后根据等边三角形的判定方法判断△BCD是等边三角形，则等边三角形的三条边相等；
（3）先根据勾股定理计算出AB=13cm，再利用三角形周长定义得到△ACF与△BDF的周长之和=AC+CD+AB+BD，接着由△BCD为等边三角形得到CD=BC=BD=12，于是计算出△ACF与△BDF的周长之和．

解答 解：（1）如图，∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴∠ABE=60°；

（2）∵△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴∠CBD=60°，BC=BD=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴DC=BC=12cm；

（3）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13（cm），
∵△ACF与△BDF的周长之和=AC+CF+AF+DF+BD+BF=AC+CD+AB+BD，
∵△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=BD=12，
∴△ACF与△BDF的周长之和=5+12+13+12=42（cm）．

点评 本题考查了三角形综合题，需要掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．还需要熟悉勾股定理的应用，难度不大．