Question

4．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+m交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于A、B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AH⊥x轴于H，连结BH，若OH：HC=1：5，S_△ABH=6，则k的值为3．

Answer 1

分析 解：设 OH=a 则 HC=5a，把C（6a，0）代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m 得m=3a，设A点坐标为 （a，n） 代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m 得到A（a，$\frac{5}{2}$a） 代入 y=$\frac{k}{x}$得 $\frac{5}{2}$a=$\frac{k}{a}$求得k=$\frac{5}{2}$a²，于是得到H点坐标为（a，$\frac{5}{2}$a） B点坐标为（5a，$\frac{1}{2}$a²）根据三角形的面积列方程即可得到结论．

解答 解：设 OH=a 则 HC=5a，
∴C（6a，0）代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m 得m=3a，
设A点坐标为 （a，n） 代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m 得 n=-$\frac{1}{2}$a+3a
n=$\frac{5}{2}$a，
∴A（a，$\frac{5}{2}$a） 代入 y=$\frac{k}{x}$得 $\frac{5}{2}$a=$\frac{k}{a}$，
∴k=$\frac{5}{2}$a²，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+3a ①
y=$\frac{5{a}^{2}}{2x}$  ②
由①②得-$\frac{1}{2}$ x+3a=$\frac{5{a}^{2}}{2x}$，
化简，得 x²-6ax+5a²=0，
解得：x=5a 或 x=a，
∴A点坐标为（a，$\frac{5}{2}$a） B点坐标为（5a，$\frac{1}{2}$a）
∴△ABH的底边=AH=$\frac{5}{2}$a，△ABH的高=B点横坐标-H点横坐标=5a-a=4a，
∴S_△ABH=$\frac{1}{2}$×△ABH的底边×△ABH的高=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{2}$a×4a=5a² ③
∵S_△ABH=6，④
由③④得 5a²=6，
∴k=$\frac{5}{2}$a²=3．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．