Question

6．（1）以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a²+b²=c²；
（2）在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置（此时B，F重合），请你重新证明：a²+b²=c²．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，得出$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²，即可得出结论；
（2）连接AD、DE，四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，得出$\frac{1}{2}$（a+b）×a=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），即可得出结论．

解答 （1）证明：连接AD，如图1所示：
则四边形ABCD是直角梯形，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
∵四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，
即$\frac{1}{2}$（a+b）²=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c²，
化简得：（a+b）²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²；
（2）证明：连接AD、DE，如图2所示：
则四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，
即$\frac{1}{2}$（a+b）×a=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），
化简得：ab+a²=c²+ab-b²，
∴a²+b²=c²．

点评 本题考查了勾股定理的证明、四边形面积的计算方法、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，通过作辅助线，运用面积法证明勾股定理是解决问题的关键．