Question

已知关于x的方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0．
（1）求证：无论m取什么数，方程总有两个实数根；
（2）若?ABCD的两边AB，AD的长是已知方程的两个实数根；
①当m为何值时，?ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
②若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？

Answer 1

考点：平行四边形的性质,根的判别式,菱形的判定

专题：

分析：（1）由△=（-m）²-4×1×（

m

2

-

1

4

）=m²-2m+1=（m-1）²≥0，即可判定无论m取什么数，方程总有两个实数根；
（2）①由当△=（m-1）²=0时，?ABCD是菱形，即可求得m的值，然后代入原方程，即可求得时菱形的边长；
②由AB=2，代入x²-mx+

m

2

-

1

4

=0，即可求得m的值，然后代入原方程，即可求得?ABCD的边长，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵△=（-m）²-4×1×（

m

2

-

1

4

）=m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴无论m取什么数，方程总有两个实数根；

（2）解：①∵?ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴当△=（m-1）²=0时，
即m=1时，?ABCD是菱形，
把m=1代入已知方程可得：x²-x+

1

4

=0，
解得：x₁=x₂=

1

2

；
∴这时菱形的边长为：

1

2

；

②∵AB=2，
∴2²-2m+

m

2

-

1

4

=0，
解得：m=

5

2

，
把x=

5

2

代入已知方程，可得：x²-

5

2

x+1=0，
解得：x₁=2，x₂=

1

2

，
∴?ABCD的周长是：2×（2+

1

2

）=5．

点评：此题考查了平行四边形的性质以及一元二次方程根的情况．此题难度适中，注意掌握方程思想的应用．