Question

16．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，M，N分别为AC，BD的中点，连接MN，ON，求证：∠MNO=45°．

Answer 1

分析 连接OM，根据全等三角形的性质得到AC=BD，∠C=∠D，根据直角三角形的性质得到OM=$\frac{1}{2}$AC，ON=$\frac{1}{2}$BD，根据等腰三角形的性质得到∠MOC=∠C=∠D=∠MOD，推出△MPN是等腰直角三角形，于是得到结论．

解答 证明：连接OM，
在△AOC与△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOB=∠COD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠C=∠D，
∵M，N分别为AC，BD的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$AC，ON=$\frac{1}{2}$BD，
∴OM=ON，
∴OM=CM=ON=DN，
∴∠MOC=∠C=∠D=∠MOD，
∴∠COM+∠BON=90°，
∴△MPN是等腰直角三角形，
∴∠MNO=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证得△MON是等腰直角三角形是解题的关键．