Question

9．如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧$\widehat{BD}$的中点，AC与BD交于点E．
（1）求证：DC²=CE•AC；
（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠DAC=∠CDB，证明△ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论；
（2）求出DC=$\sqrt{3}$，连接OC、OD，如图所示：证出BC=DC=$\sqrt{3}$，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理得出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，得出OB=OC=OD=DC=BC=$\sqrt{3}$，证出△OCD、△OBC是正三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出结论；
（3）由切线的性质得出OC⊥CH，求出∠H=30°，证出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面积公式即可得出答案．

解答 （1）证明：∵C是劣弧$\widehat{BD}$的中点，
∴∠DAC=∠CDB，
∵∠ACD=∠DCE，
∴△ACD∽△DCE，
∴$\frac{AC}{DC}$=$\frac{CD}{CE}$，
∴DC²=CE•AC；

（2）证明：∵AE=2，EC=1，
∴AC=3，
∴DC²=CE•AC=1×3=3，
∴DC=$\sqrt{3}$，
连接OC、OD，如图所示：
∵C是劣弧$\widehat{BD}$的中点，
∴OC平分∠DOB，BC=DC=$\sqrt{3}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴OB=OC=OD=DC=BC=$\sqrt{3}$，
∴△OCD、△OBC是正三角形，
∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，
∴∠AOD=180°-2×60°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是正三角形；

（3）解：∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH，
∵∠COH=60°，
∴∠H=30°，
∵∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠H=∠BAC，
∴AC=CH=3，
∵AH=3$\sqrt{3}$，AH上的高为BC•sin60°=$\frac{3}{2}$，
∴△ACH的面积=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了圆的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、三角函数、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度．