Question

【题目】如图所示，在△ABC中，C90，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EHAB于点H，连结BE．

（1）求证：BCBH；

（2）若AB5，AC4，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）连接OE，如图，根据切线的性质得到OE⊥AC，则可证明∠1=∠3，然后证明Rt△BEH≌Rt△BEC得到结论；

（2）利用勾股定理计算出BC=3，求解，设CEx，则EHx，AE4x．在Rt△AEH中，由勾股定理可得答案．

（1）证明：如图，连结OE．

∵OEOB，∴12

∵AC与⊙O相切，

∴ACOE，

∵BCAC，∴OE//BC，

∴23，

C90，EHAB，

∴△BCE≌△BHE（AAS）

∴BCBH；

（2）解：设CEx，

△BCE≌△BHE，

则EHx，AE4x．在Rt△ABC中，由勾股定理得：

由（1）可知：BHBC3，

∴AHABBH532．

在Rt△AEH中，由勾股定理得：，

，解之得：．

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