Question

如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论正确的有（　　）
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；
②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；
③

AC

=

BC

；     
④∠BAC=30°．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：分别根据圆的内接正六边形、正三角形及正十二边形的性质进行解答即可．

解答：解：∵OA=AB，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，
∴弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，故①正确；
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴

AC

=

BC

，故③正确；
∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故②正确；
∵∠ACB是圆内接正十二边形的内角，
∴∠ACB=

(12-2)×180°

12

=150°，
∴∠ACO=

1

2

∠ACB=

1

2

×150°=75°，
在△AOC中，
∵∠AOC=30°，∠OAB=60°，∠ACO=75°，
∴∠BAC=180°-∠ACO-∠AOC-∠OAC=180°-75°-30°-60°=15°，故④错误．
故选C．

点评：本题考查的是正多边形和圆及垂径定理，熟知圆的内接正六边形、正三角形、正十二边形的性质及垂径定理是解答此题的关键．