Question

（2007•上海模拟）已知：如图，在△OAP中，OA=6，sin∠POA=

3

5

，cot∠PAO=

2

3

，二次函数的图象经过O、A、P三点．
（1）求点P的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在x轴的下方，且在二次函数图象的对称轴上求一点M，使得△MOP与△AOP的面积相等．

Answer 1

分析：（1）过点P作PH⊥OA，垂足为点H，将原图分为两个直角三角形，利用锐角三角函数的定义，列方程求解；
（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，由O、A、P三点坐标代入，列方程求a、b、c的值，确定抛物线解析式；
（3）根据二次函数解析式可知，对称轴为x=3，可设点M的坐标为（3，y），二次函数的对称轴与OP相交于点C，由P点坐标可求直线OP解析式，把x=3代入可求C点坐标，由S_△MOP=S_△COM+S_△PCM，S_△MOP=S_△AOP，列方程求M点纵坐标y即可．

解答：解：（1）过点P作PH⊥OA，垂足为点H．
设点P的坐标为（x，y），则OH=x，PH=y． （1分）
∵sin∠POA=

3

5

，∴tan∠POA=

3

4

．∴

PH

OH

=

3

4

．∴OH=

4

3

y． （1分）
∵cot∠PAO=

2

3

，∴

AH

PH

=

2

3

．∴AH=

2

3

y． （1分）
∵OA=OH+AH=6，∴

4

3

y+

2

3

y=6． （1分）
∴y=3．∴x=4．
∴点P的坐标为（4，3）． （1分）
（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c．
由题意，得

0=c 0=36a+6b+c  3=16a+4b+c

（1分）
解得

a=- 3 8   b= 9 4 c=0

（1分）
∴所求二次函数的解析式为y=-

3

8

x2+

9

4

x． （1分）
（3）设点M的坐标为（3，y），二次函数的对称轴与OP相交于点C．
由题意，得 点C的坐标为（3，

9

4

）． （1分）
∴S_△MOP=S_△COM+S_△PCM=

1

2

(

9

4

-y)×3+

1

2

(

9

4

-y)×1=

1

2

(

9

4

-y)×4=2(

9

4

-y)．
（1分）
而S_△MOP=S_△AOP，S_△AOP=

1

2

×6×3=9，（1分）
∴2(

9

4

-y)=9．∴y=-

9

4

．
∴点M的坐标为（3，-

9

4

）． （1分）
另解：设二次函数的对称轴与x轴交于点B，连接MA．
∵△MOP与△AOP的面积相等，且OP是公共边，
∴点M到OP与点A到OP的距离相等． （1分）
∴AM∥OP．
∴∠MAB=∠POA．（1分）
∴tan∠MAB=tan∠POA=

3

4

．
∵AB=3，∴

BM

3

=

3

4

． （1分）
∴BM=

9

4

．
∴点M的坐标为（3，-

9

4

）． （1分）

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是利用直角三角形的边角关系求点P的坐标，根据二次函数的图象经过O、A、P三点，求抛物线解析式，根据三角形面积相等，列方程求M点的坐标．