Question

【题目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化.

(1)探索发现

如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE，BP与CE的数量关系是_______，CE与AD的位置关系是_______.

(2)归纳证明

证明2，当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立?若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用

如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=5，BE=13，请直接写出线段DP的长.

Answer 1

【答案】(1)BP=CE，CE⊥AD；(2)(1)中的结论仍成立.理由见解析； (3)PD= ．

【解析】

（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可证△ABC与△ACD是等边三角形，由等边△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，减去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根据SAS可证得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD．
（2）证明过程同（1）．
（3）由AB=5即△ABC为等边三角形可求得BD的长．连接CE，由（2）可求∠BCE=90°，故在Rt△BCE中，由勾股定理可求CE的长．又由（2）可得BP=CE，由DP=BP-BD即求得DP的长．

解：(1) ∵菱形ABCD中，∠ABC=60°
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD是等边三角形
∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°
∵△APE是等边三角形
∴AP=AE，∠PAE=60°
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC
即∠BAP=∠CAE
在△BAP与△CAE中

∴△BAP≌△CAE（SAS）
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE
∵BD平分∠ABC
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°
∴CE平分∠ACD
∴CE⊥AD
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；

(2)(1)中的结论仍成立，证明如下：

设AD与CE交于点O

∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°

∴△ABC为等边三角形.

∴AB=AC，∠BAC=60°

∴∠BAP=∠CAE

又∵ΔAPE为等边三角形

∴AP=AE

在△BAP与△CAE中

∴△BAP≌ΔCAE(SAS)

∴BP=CE

∴∠ACE=∠ABP=30°

又∵∠CAD=60°

∠A0C=90°

∴AD⊥CE；

(3) 连接CE，设AC与BD相交于点O

∵AB=5
∴BC=AC=AB=5
∴AO=AC=

∴BO= ＝＝
∴BD=2BO=5
∵∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，BE=13
∴CE= ＝=12
由（2）可知，BP=CE=12
∴DP=BP-BD=12-5

故答案为：(1)BP=CE，CE⊥AD；(2)(1)中的结论仍成立.理由见解析； (3)PD= ．