Question

11．如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=6，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，现将△ADE沿着DE所在的直线折叠，使得点A落在点A′处，A′D，A′E分别交BC于点F、G．若FG：DE=1：2，则图中阴影部分的周长为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$+6
• B． 4$\sqrt{3}$+8
• C． 6$\sqrt{3}$+4
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据相似三角形的性质得到$\frac{A′F}{A′D}$=$\frac{FG}{DE}$=$\frac{1}{2}$，得到A′F=DF，推出BD=FD，得到AD=A′D=2BD，得到BD=2，同理DG=2，过A作AM⊥BC于M，求得BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，得到BC=6$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：∵DE∥BC，
∴FG∥DE，
∴△A′FG∽△A′DE，
∴$\frac{A′F}{A′D}$=$\frac{FG}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴A′F=DF，
∵∠A=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠ADE=∠AED=30°，
∵将△ADE沿着DE所在的直线折叠，使得点A落在点A′处，
∴∠A′DE=∠ADE=30°，
∴∠DFB=∠A′FG=30°，
∴∠B=∠DFB，
∴BD=FD，
∴AD=A′D=2BD，
∵AB=AC=6，
∴BD=2，
同理DG=2，
过A作AM⊥BC于M，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∴BC=6$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{2}{3}$BC=4$\sqrt{3}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$DE=2$\sqrt{3}$，
∴图中阴影部分的周长=DE+DF+FG+EG=6$\sqrt{3}$+4，
故选C．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．