Question

已知α、β是方程x²-3x-5=0的两根，求

25

2α-1

+

13

α+2β

+β²的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：

分析：先由一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出α=3-β，αβ=-5，β²=3β+5，将它们代入

25

2α-1

+

13

α+2β

+β²，化简即可求解．

解答：解：∵α、β是方程x²-3x-5=0的两根，
∴α+β=3，αβ=-5，β²-3β-5=0．
∴α=3-β，β²=3β+5，
∴

25

2α-1

+

13

α+2β

+β²
=

25

2(3-β)-1

+

13

3-β+2β

+3β+5
=

25

5-2β

+

13

3+β

+3β+5
=

25(3+β)+13(5-2β)

(5-2β)(3+β)

+3β+5
=

140-β

5-7β

+3β+5
=

140-β+3β(5-7β)

5-7β

+5
=

35-49β

5-7β

+5
=7+5
=12．

点评：本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．同时考查了一元二次方程的解的定义及分式的化简求值．