Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为．

（1）求抛物线的解析式及点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若点是半径为2的⊙上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小为_________．(直接写出结果)

Answer 1

【答案】（1），B(5，0)；（2）M(3,-4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）

【解析】

(1)由直线y=-5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标；
(2)从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值；
(3)作点D坐标为(4,0)，可得BD=1，进而有，再加上公共角∠PBD=∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得到PD=AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小，用两点间的距离公式即可求出CD的长.

(1)直线y=-5x+5，x=0时，y=5，
∴C(0,5)，
当y=-5x+5=0时，解得x=1，
∴A(1,0)，
∵抛物线经过A，C两点，
∴ ，解得，
∴抛物线解析式为，
当=0时，解得，，

∴B（5,0）；

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，

∵ A(1,0)，B(5,0),C(0,5)，
∴AB=5-1=4，OC=5，
∴，
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M(m,m2-6m+5)(1<m<5)，
∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5，
∴，
∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=，
∴当m=3，即M(3,-4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；

（3）如图2，在x轴上取点D（4,0），连接PD、CD，

∴BD=5-4=1，

∵AB=4，BP=2，
∴，

∵∠PBD=∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴，
∴PD=AP，
∴PC+PA=PC+PD，
当点C.P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小，

∵，

∴PC+PA的最小值为，

故答案为：.