Question

【题目】如图，是的直径，切于点，点是上的一个动点（点不与，两点重合），连接，过点作交于点，过点作于点，交的延长线于点，连接，，．

（1）求证：直线为的切线；

（2）若直径的长为4．

①当________时，四边形为正方形；

②当________时，四边形为菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①2；②．

【解析】

（1）证，得出∠OPQ=∠OBQ=90°得证；

（2）①根据四边形OBQP是正方形，可得点E与点O重合，故而求得EP的长；

②利用菱形的性质，对角线垂直且相互平分，可在Rt△CPO中求得CP的长，进而得出EP的长．

（1）证明：∵切于点，

∴，

∴，

∵，

∴，，

而，

∴，

∴，

在和中

，

∴．

∴．

∴直线为切线；

（2）①如下图所示

∵四边形OBQP是正方形

∴OP⊥AB

∴点O与点E重合

∴EP=OP

∵直径AB=4

∴OP=EP=2

②如下图

∵四边形AEOP是菱形

∴AO⊥EP，且AC=CO，EC=CP

∵直径AB=4

∴OP=2，CO=1

∴在Rt△PCO中，CP=

∴EP=．