Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线经过点和，其顶点为C．

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）我们把坐标为（n，m）的点叫做坐标为（m，n）的点的反射点，已知点M在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M的坐标；

（3）点P是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA=∠ACB，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1），顶点C的坐标为：（1,4）；（2）点M的坐标为（，1）或（，1）；（3）点P的坐标为（，）.

【解析】

（1）将点和代入即可求出；

（2）设点M的坐标为（n，m），则其反射点的坐标为（m，n），根据点M的反射点在抛物线的对称轴上得到m=1，即M(n，1)，将点M坐标代入解析式求出n即可得到坐标；

（3）根据点和求出AB=，过点C作CM⊥y轴与M，根据C(1，4)，求出CM=BM=1，推出∠ABC=90°，，设点P的坐标为（x， ），过点P作PF⊥x轴于F，则∠OFP=∠ABC=90°，证明△POF∽△CAB，列关系式求出x即可得到点P的坐标.

（1）将点和代入得

，解得，

∴=，

∴顶点C的坐标为：（1,4）；

（2）设点M的坐标为（n，m），则其反射点的坐标为（m，n），

∵点M的反射点在抛物线的对称轴上，

∴m=1，即M(n，1)，

代入中，得，

∴，

∴点M的坐标为（，1）或（，1）；

（3）∵点和，

∴OA=OB=3，

∴AB=，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

过点C作CM⊥y轴与M，

∵C(1，4)，

∴CM=BM=1，

∴∠CBM=∠BCM=45°，

∴∠ABC=90°，

∴，

设点P的坐标为（x， ），

过点P作PF⊥x轴于F，则∠OFP=∠ABC=90°，

∵∠POA=∠ACB，

∴△POF∽△CAB，

∴,

∴，

解得x=或x=（不合题意，舍去），

∴=，

∴点P的坐标为（，）.