Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．
（1）求证：EF=CF；
（2）求证：FG⊥DG．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：（1）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD=AD=

1

2

AB；然后根据“平行线分线段”成比例证得结论；
（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．通过证“GM是△BEC的中位线，FG是△CDM的中位线”，结合平行线的性质可以证得FG⊥DG．

解答：证明：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD=

1

2

AB．
又EF∥AB，
∴

EF

AD

=

CF

CD

，
∴

EF

CF

=

AD

CD

=1，
∴EF=CF；

（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．
∵EF∥AB，
∴∠CMF=∠CBD．
又∵AD=BD=

1

2

AB，
∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，
∴∠CMF=∠FCM，
∴CF=MF．
又由（1）知，EF=CF，
∴EF=FM，即点F是EM的中点，
又∵EF∥AB，则FM∥AB
∴EM是△ABC的中位线，则点M是BC的中点，
∵点G是BE的中点，
∴DG是△AEB的中位线，GM是△BEC的中位线，
∴GD∥AE，GM∥EC，
∴点D、G、M三点共线，
∴FG是△CDM的中位线，
∴FG∥CM．
又∵MC⊥EC，
∴FG⊥DG．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，解答（2）题的技巧在于通过作辅助线，构建三角形的中位线，利用三角形中位线定理证得结论．