Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于点A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，与过点C且平行x轴的直线交于另一点D．
（1）求a、b的值及D的坐标；
（2）若直线l过点M（0，-$\frac{3}{7}$），且平分四边形ABDC的面积，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）把A，B坐标代入抛物线解析式即可求出a，b的值，再令x=0求出C点坐标，进一步求出D点坐标即可；
（2）设出l的解析式，表示出与AB，CD的交点，根据平分面积列方程求解即可．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+2与x轴交于点A（-1，0），B（4，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：a=$-\frac{1}{2}$，b=$\frac{3}{2}$；
∴y=${-\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$，
当x=0时，y=2，
∴点C（0，2），
当y=2时，${-\frac{1}{2}x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$=2，
解得：x=0，或x=3，
∴点D（3，2）；
（2）如图1

直线l过点M（0，-$\frac{3}{7}$），
可设l：y=kx$-\frac{3}{7}$，交AB于点E，交CD于点F，
当y=0时，x=$\frac{\frac{3}{7}}{k}$，当y=2时，x=$\frac{\frac{17}{7}}{k}$，
∴FD=3-$\frac{\frac{17}{7}}{k}$，BE=4-$\frac{\frac{3}{7}}{k}$，
由题意可得：FD+BM=$\frac{1}{2}（AB+CD）$=$\frac{1}{2}×（5+3）$=4，
∴3-$\frac{\frac{17}{7}}{k}$+4-$\frac{\frac{3}{7}}{k}$=4，
解得：k=$\frac{20}{21}$；
∴直线l的解析式为：y=$\frac{20}{21}$x-$\frac{3}{7}$．

点评 此题主要考查抛物线的图象交点问题，会用点求解析式，会待定直线解析式解决均分图形面积是解题的关键．