Question

14．已知关于x的一元二次方程x²-4$\sqrt{5}$x+12+m=0．
（1）若方程的一个根是$\sqrt{5}$，求m的值及方程的另一根；
（2）若方程的两根恰为等腰三角形的两腰，而这个三角形的底边为m，求m的值及这个等腰三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）可将该方程的已知根$\sqrt{5}$代入方程，求出m的值，即可求出方程的另一根，
（2）根据方程的两根恰为等腰三角形的两腰可得△=b²-4ac=0，列出式子，即可求实数m的值，再根据勾股定理可求底边的高，根据三角形面积公式计算即可求解．

解答 解：（1）∵x=$\sqrt{5}$是方程x²-4$\sqrt{5}$x+12+m=0的一个根
∴（$\sqrt{5}$）²-4$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$+12+m=0
解得：m=3
则方程为：x²-4$\sqrt{5}$x+15=0
解得：x₁=$\sqrt{5}$，x₂=3$\sqrt{5}$．
∴方程的另一根为3$\sqrt{5}$．
（2）若方程的两根恰为等腰三角形的两腰，则△=b²-4ac=0，
所以△=（-4$\sqrt{5}$）²-4（12+m）=0，
解得m=8，
则方程为：x²-4$\sqrt{5}$x+20=0，
解得x=2$\sqrt{5}$，
底边的高为：$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-（8÷2）^{2}}$=2，
故面积为8×2÷2=8．

点评 此题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解决此类题目时要认真审题，根据根的判别式列出式子．