Question

4．如图，过原点的直线y=k₁x和y=k₂x与反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．
（1）四边形ABCD一定是平行四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k₁，k₂之间的关系式；若不能，说明理由；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是函数y=$\frac{1}{x}$图象上的任意两点，a=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，b=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，试判断a，b的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线y=k₁x和y=k₂x与反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象关于原点对称，即可得到结论．
（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 $\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}{+k}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{2}}{+k}_{2}}$，两边平分得$\frac{1}{{k}_{1}}$+k₁=$\frac{1}{{k}_{2}}$+k₂，整理后得（k₁-k₂）（k₁k₂-1）=0，根据k₁≠k₂，则k₁k₂-1=0，即可求得；
（3）由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是函数y=$\frac{1}{x}$图象上的任意两点，得到y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，求出a=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}}{2}$=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$，得到a-b=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$=$\frac{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$＞0，即可得到结果．

解答 解：（1）∵直线y=k₁x和y=k₂x与反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象关于原点对称，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
故答案为：平行；

（2）解：∵正比例函数y=k₁x（k₁＞0）与反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象在第一象限相交于A，
∴k₁x=$\frac{1}{x}$，解得x=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}}$（因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）
将x=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}}$带入y=k₁x得y=$\sqrt{{k}_{1}}$，
故A点的坐标为（$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}}$，$\sqrt{{k}_{1}}$）同理则B点坐标为（$\sqrt{\frac{1}{{k}_{2}}}$，$\sqrt{{k}_{2}}$），
又∵OA=OB，
∴$\sqrt{\frac{1}{{k}_{1}}{+k}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{k}_{2}}{+k}_{2}}$，两边平方得：$\frac{1}{{k}_{1}}$+k₁=$\frac{1}{{k}_{2}}$+k₂，
整理后得（k₁-k₂）（k₁k₂-1）=0，
∵k₁≠k₂，
所以k₁k₂-1=0，即k₁k₂=1；

（3）∵P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是函数y=$\frac{1}{x}$图象上的任意两点，
∴y₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴a=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}}{2}$=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$，
∴a-b=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$=$\frac{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$，
∵x₂＞x₁＞0，
∴${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$＞0，x₁x₂＞0，（x₁+x₂）＞0，
∴$\frac{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}{（x}_{1}{+x}_{2}）}$＞0，
∴a-b＞0，
∴a＞b．

点评 本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，比较代数式的大小，掌握反比例函数图形上点的坐标的特征是解题的关键．