Question

9．已知如图所示，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+m-3与x轴交于A，B 两点．且OA=OC．求：
（1）m的值与抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在另一点M，使△MAC≌△OAC？若存在求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0求出y的值得到OC的长度，然后表示出OA得到点A的坐标，再把A点坐标代入解析式得到关于m的方程，则解方程求出m的值，即可得到抛物线解析式；
（2）利用△OAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，根据全等三角形的判定，当△MAC是以AC为斜边的等腰直角三角形时，△MAC≌△OAC，则点M为AC的垂直平分线与抛物线的交点，易得此时点M不能使△MAC为直角三角形，所以可判断在抛物线上不存在另一点M，使△MAC≌△OAC．

解答 解：（1）∵x=0，y=-$\frac{1}{2}$x²+m-3=m-3，
∴C（0，m-3），
∵OA=OC=m-3，
∴A（m-3，0），
把A（m-3，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+m-3得-$\frac{1}{2}$（m-3）²+m-3=0，解得m₁=5，m₂=3（舍去），
∴m的值为5，
∴抛物线为y=-$\frac{1}{2}$x²+2；
（2）在抛物线上不存在另一点M，使△MAC≌△OAC．理由如下：
∵△OAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∴当△MAC是以AC为斜边的等腰直角三角形时，△MAC≌△OAC，
则点M为AC的垂直平分线与抛物线的交点，于是此时△MAC不能为直角三角形，
∴在抛物线上不存在另一点M，使△MAC≌△OAC．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了全等三角形的判定．