题目内容
如图，第一象限内半径为4的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+6。
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式；
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP，请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在△AMN的面积等于
？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式；
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP，请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在△AMN的面积等于
？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，
∴OA⊥AD，BD⊥AD，
又OA⊥OB，
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，
∴四边形OADB是矩形，
∵⊙C的半径为4，
∴AD=OB，
∵点P在直线l上，
∴点P的坐标为（8，p），
又∵点P也在直线AP上，
∴p=8k+6；
（2）连接DN，
∵AD是⊙C的直径，
∴∠AND=90°，
∵∠ADN=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN，
∴∠ADN=∠ABD，
∵∠ADN=∠AMN，
∴∠AMN=∠ABD，
又∵∠MAN=∠BAP，
∴△AMN∽△ABP；
（3）存在；
理由：把x=0代入y=kx+6得y=6，即OA=BD=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AB=10，
∵S△ABD=
，
∴DN=
，
∴
，
∵△AMN∽△ABP，
∴
，即
，
当点P在B点上方时，
∵
，
，
∴
,
整理得，
,
解得
，
，
当点P在B点下方时，
，
，
∴
，
化简，得
，解得k=-2，
综合以上所述得，当
或
时，△AMN的面积等于
。
∴OA⊥AD，BD⊥AD，
又OA⊥OB，
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，
∴四边形OADB是矩形，
∵⊙C的半径为4，
∴AD=OB，
∵点P在直线l上，
∴点P的坐标为（8，p），
又∵点P也在直线AP上，
∴p=8k+6；
（2）连接DN，
∵AD是⊙C的直径，
∴∠AND=90°，
∵∠ADN=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN，
∴∠ADN=∠ABD，
∵∠ADN=∠AMN，
∴∠AMN=∠ABD，
又∵∠MAN=∠BAP，
∴△AMN∽△ABP；
（3）存在；
理由：把x=0代入y=kx+6得y=6，即OA=BD=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AB=10，
∵S△ABD=
，∴DN=
，∴
，∵△AMN∽△ABP，
∴
，即
，当点P在B点上方时，
∵
，
，∴
,整理得，
,解得
，
，当点P在B点下方时，
，
，∴
，化简，得
，解得k=-2，综合以上所述得，当
或
时，△AMN的面积等于
。
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时，k= ．
的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。