Question

如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3．设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则S△AMN=

32

25

时，k=

2±

6

或-2

．

Answer 1

分析：首先连接DN．由直径所对的圆周角是直角，可得∠AND=90°，易证得△AMN∽△ABP；又由OA与PB都是⊙C的切线，易证得四边形OADB是矩形，把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3，然后由勾股定理求得AB=5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比．然后分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k²-4k-2=0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k²+1=-（4k+3），解关于k的一元二次方程．

解答：解：连接DN．
∵AD是⊙C的直径，
∴∠AND=90°，
∵∠ADN=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN，
∴∠ADN=∠ABD，
又∵∠ADN=∠AMN，
∴∠ABD=∠AMN，
∵∠MAN=∠BAP，
∴△AMN∽△ABP，
∵OA与PB都是⊙C的切线，
∴AD⊥OA，AD⊥PB，
∵∠AOB=90°，
∴四边形OADB是矩形，
∴OB=AD=4，OA=BD，
把x=0代入y=kx+3得：y=3，即OA=BD=3，
∴在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=5，
∵S_△ABD=

1

2

AB•DN=

1

2

AD•BD，
∴DN=

AD•BD

AB

=

12

5

，
∴AN²=AD²-DN²=4²-（

12

5

）²=

256

25

，
∴

S△AMN

S△ABP

=(

AN

AP

)2，
∴S_△AMN=（

AN

AP

）²•S_△ABP=

AN2•S△ABP

AP2

，
∵点P的横坐标为4，且直线PA的解析式为：y=kx+3，
∴点P的纵坐标为：4k+3，
当点P在B点上方时，
∵AP²=AD²+PD²=AD²+（PB-BD）²=4²+（4k+3-3）²=16（k²+1），
或AP²=AD²+PD²=AD²+（BD-PB）²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1），
∴S_△ABP=

1

2

PB•AD=

1

2

（4k+3）×4=2（4k+3），
∴S△AMN=

AN2•S△ABP

AP2

=

256×2(4k+3)

25×16(k2+1)

=

32(4k+3)

25(k2+1)

=

32

25

，
整理得：k²-4k-2=0，
解得：k₁=2+

6

，k₂=2-

6

；
当点P在B点下方时，
∵AP²=AD²+PD²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1），S_△ABP=

1

2

PB•AD=

1

2

[-（4k+3）]×4=-2（4k+3），
S△AMN=

AN2•S△ABP

AP2

=

-256×2(4k+3)

25×16(k2+1)

=

32

25

，
化简得：k²+1=-（4k+3），
解得：k=-2，
综上可得：当S△AMN=

32

25

时，k=2±

6

或k=-2．
故答案为：2±

6

或-2．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．