Question

18．如图，以AB为直径的半圆O，CD为弦，连结AD，BC．
（1）若∠APC=60°，求△CPD与△APB的面积之比．
（2）若CD=3.5，AB=7，BC=5，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，证出∠CAD=30°，由三角函数得出$\frac{PC}{PA}$=$\frac{1}{2}$，证出△CPD∽△APB，由相似三角形的性质即可得出结果；
（2）由相似三角形的性质得出$\frac{CD}{AB}$=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{1}{2}$，由勾股定理求出AC，由三角函数求出PC即可．

解答 解：（1）连接AC，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠APC=60°，
∴∠CAD=30°
∴sin∠CAD=$\frac{1}{2}$，
∵sin∠CAD=$\frac{PC}{PA}$，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ADC=∠ABC，∠CPD=∠APB，
∴△CPD∽△APB，
∴$\frac{{S}_{△CPD}}{{S}_{△APB}}$=（$\frac{PC}{PA}$）²=$\frac{1}{4}$；
（2）∵△CPD∽△APB，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-{5}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
在Rt△ACP中，PC=tan∠CAP•AC=tan30°•AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{6}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定由V型在、三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．