Question

如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连结AB．在⊙O上找一点C，使OA²+AB²=BC²，则∠OAC的度数为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,解直角三角形

专题：分类讨论

分析：设圆的半径是r，作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，再由直角三角形的性质即可解答．

解答：解：如图，设圆的半径是r，则AO=r，BO=r，作直径BD，作BC⊙O的弦BC，使∠DBC=30°，作BC关于直径BD的对称线段BE，
连接EC，BE，ED，AC，
直角△BED中，可以得∠EBD=30°，
∵线段BE与线段BC关于直线BD对称，
∴BC=BE，
∴BD垂直平分线段CE，
∴

DE

=

CD

，
∴∠CBD=30°而∠BCA=

1

2

∠AOB=45°．
在△ABC中，∠OAC=180°-∠ABO-∠CBD-∠ACB-∠BAO=15°．
同理，当E为C时，∠OAC=75°．
可得，∠OAC的度数为15°或75°．
故答案为：15°或75°．

点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．