Question

14．如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=10，点E是BC上一动点，将△ABE沿AE翻折得到△AEF，当DF=3$\sqrt{5}$时，BE=$\frac{5}{2}$或10．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：点F在AD下方；点F在AD上方，分别过F作GH⊥BC于H，交AD于G，先根据勾股定理求得AG=4，GF=3，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算，即可得到EF的长，进而由折叠的性质得出BE的长．

解答 解：分两种情况：
①如图，当点F在AD下方时，过F作GH⊥BC于H，交AD于G，则FG⊥AD，

由折叠可得AF=AB=5，
设AG=x，则DG=10-x，
∵AF²-AG²=GF²=DF²-DG²，
∴5²-x²=（3$\sqrt{5}$）²-（10-x）²，
解得x=4，
∴AG=4，
∴Rt△AGF中，GF=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴FH=5-3=2，
∵∠AGF=∠FHE=90°=∠AFE，
∴∠GAF=∠HFE，
∴△GAF∽△HFE，
∴$\frac{EF}{FA}$=$\frac{FH}{AG}$，即$\frac{EF}{5}$=$\frac{2}{4}$，
∴EF=$\frac{5}{2}$，
∴BE=FE=$\frac{5}{2}$；

②如图，当点F在AD上方时，过F作FH⊥BC于H，交AD于G，则FG⊥AD，

同理可得AG=4，FG=3，
∵GH=AB=5，
∴FH=3+5=8，
∵∠AFE=∠AGF=90°，
∴∠FAG=∠EFH，
又∵∠AGF=∠FHE=90°，
∴△AGF∽△FHE，
∴$\frac{EF}{FA}$=$\frac{HF}{GA}$，即$\frac{EF}{5}$=$\frac{8}{4}$，
∴FE=10，
∴BE=FE=10，
综上所述，BE的长为$\frac{5}{2}$或10．
故答案为：$\frac{5}{2}$或10．

点评 本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据勾股定理以及相似三角形的性质进行计算求解．