Question

销售甲、乙两种商品所得利润分别为y₁(万元)和y₂(万元)，它们与投入资金u的关系式为y₁＝，y₂＝u．如果将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲商品的投资为x(万元)．
（1）求经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设＝t，试写出y关于t的函数关系式，并求出经营甲、乙两种商品各投入多少万元时使得总利润最大．

Answer 1

（1）y＝＋（3－x）（0≤x≤3）；（2）甲、乙分别投入、万元时

试题分析：（1）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（3-x）（万元），根据经验公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；
（2）利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．
（1）由已知y₁＝，y₂＝（3－x）
∴y＝y₁＋y₂＝＋（3－x）
自变量x的的取值范围为0≤x≤3；
（2）∵＝t，∴x＝t²，
∴y＝＋（3－t²）＝－t²＋＋＝－( t－)²＋ 
∴当t＝时，y取最大值．   
由t＝得，x＝ 
∴3－x＝
即经营甲、乙两种商品分别投入、万元时，使得总利润最大．
点评：二次函数的应用是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.