Question

已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线 分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.
（1）如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；

（2）在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

Answer 1

（1），；（2）或

试题分析：（1）先求得，由题意得点与点′关于轴对称，即可得到点′的坐标，从而求得a的值，即得点到轴的距离为3，再根据待定系数法求得直线的解析式，再求得它与轴的交点坐标，即可得到四边形的面积；
（2）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，则把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式即可求得点P的坐标；当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，即可得到点P的坐标.
（1）
由题意得点与点′关于轴对称，，
将′的坐标代入得，
（舍去）， ，点到轴的距离为3.
， ，直线的解析式为，
它与轴的交点为点到轴的距离为.

（2）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，
把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，
得：
（不舍题意，舍去），，
当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，
．
与关于原点对称，
，
将点坐标代入抛物线解析式得：，
（不合题意，舍去），，．
存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．