Question

8．如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；
（2）根据S_阴影=S_Rt△ABC-S_Rt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．

解答 （1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，
∴AC²=AD²+CD²=8²+6²=100，
∴AC=10（取正值）．
在△ABC中，∵AC²+BC²=10²+24²=676，AB²=26²=676，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形；

（2）解：S_阴影=S_Rt△ABC-S_Rt△ACD
=$\frac{1}{2}$×10×24-$\frac{1}{2}$×8×6
=96．

点评 本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC为直角三角形．