Question

5．在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁E₁E₂B₂、A₂B₂C₂D₂、D₂E₃E₄B₃、A₃B₃C₃D₃…按如图所示的方式放置，其中点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x轴上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…则正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的边长是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴
• B． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁴

Answer 1

分析 利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．

解答 方法一：
解：如图所示：∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…
∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，
∴D₁E₁=C₁D₁sin30°=$\frac{1}{2}$，则B₂C₂=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）¹，
同理可得：B₃C₃=$\frac{1}{3}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
故正方形A_nB_nC_nD_n的边长是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）^n-1．
则正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的边长是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁴．
故选：D．

方法二：
∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，
∠B₁C₁O=60°，
∴D₁E₁=B₂E₂=$\frac{1}{2}$，
∵B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…
∴∠E₂B₂C₂=60°，
∴B₂C₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
同理：
B₃C₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$…
∴a₁=1，q=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅D₂₀₁₅的边长=1×$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2015-1}=（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2014}$．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．