Question

15．某游乐场在宽MN为（30+5$\sqrt{2}$）米、高AM为10$\sqrt{3}$米的空间内修建一条滑道A→B→C→D→E，其中斜坡AB的坡角∠ABM=60°，斜坡CD的坡度i=1﹕1，BC、DE为水平滑道，且滑道BC、CD、DE的长度相等．
（1）求从A处到E处的滑道总长；
（2）为了测试滑道安全情况，测试人员用一个半径为1米的圆盘从A端保持与滑道相切的状态，沿滑道滚向垂直放置在E处的测试板EF，当圆盘与EF相切时运动停止．求此过程中，圆心O运动的路线长为多少米？计算结果保留精确到0.1米（tan22.5°≈0.41，tan30°≈0.57，tan60°≈1.73，π≈3.14）

Answer 1

分析 （1）作DG垂直MN于G，可设DE=CD=BC=x，根据题意可列方程2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=30+5$\sqrt{2}$-10，求得x后将所有的路径相加即可求得路径的长；
（2）用滑道的总长减去滚动的路径的长即可求得点O的运动路线长．

解答 解：（1）作DG垂直MN于G，可设DE=CD=BC=x，
则可列方程2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=30+5$\sqrt{2}$-10，
解得x=10，
10+10+10+20=50米，
答：滑道总长为50米．
（2）当圆O运动到B点时，运动路径减少了0.57×2米；
当圆O运动到C点时，运动路径减少了0.41×2米；
当运动到点D时，圆心O滚动的弧长为：$\frac{45×3.14×1}{180}$，
故圆心O运动的路线长为：50-0.57×2-0.41×2+$\frac{45×3.14×1}{180}$-1≈47.8米．

点评 本题考查了坡度坡角问题及切线的性质，解题的关键是了解坡度和坡角的定义，难度不大．