Question

如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，下面结论：①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN²=PN•QN．其中正确的是（ ）

A．①②③
B．①③⑤
C．④⑤
D．①②⑤

Answer 1

【答案】分析：根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案．
解答：解：延长MN交圆于点W，延长QN交于圆点E，延长PN交于圆点F，连接PE，QF
∵∠PNM=∠QNM，MN⊥AB，
∴∠1=∠2（故①正确），
∵∠2与∠ANE是对顶角，
∴∠1=∠ANE，
∵AB是直径，
∴可得PN=EN，
同理NQ=NF，
∵点N是MW的中点，MN•NW=MN²=PN•NF=EN•NQ=PN•QN（故⑤正确），
∴MN：NQ=PN：MN，
∵∠PNM=∠QNM，
∴△NPM∽△NMQ，
∴∠Q=∠PMN（故③正确）．
故选B．
点评：本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解．