Question

5．如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，且∠EAF=45°，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=3$\sqrt{2}$，则MN的长为5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接GM，GN，由AG=AB=AD，利用“HL”证明△AGE≌△ABE，△AGF≌△ADF，从而有BE=EG=4，DF=FG=6，设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，利用勾股定理求a的值，再利用勾股定理求正方形对角线BD的长，再证明△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，得出MG=BM，NG=ND，∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，在Rt△GMN中，利用勾股定理求MN的值．

解答 解：如图，连接GM，GN，
在Rt△AGF与Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AB}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ABE，
同理可证△AGF≌△ADF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，
设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，CE=a-4，CF=a-6，
由勾股定理，得CE²+CF²=EF²，即（a-4）²+（a-6）²=10²，
解得a=12或-2（舍去负值），
∴BD=12$\sqrt{2}$，
在Rt△ABM与Rt△AGM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△AGM，同理△ADN≌△AGN，
∴MG=BM=3$\sqrt{2}$，NG=ND=12$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$-MN=9$\sqrt{2}$-MN，
∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，
在Rt△GMN中，由勾股定理，得MG²+NG²=MN²，
即（3$\sqrt{2}$）²+（9$\sqrt{2}$-MN）²=MN²，
解得MN=5$\sqrt{2}$．
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用．关键是通过作辅助线，利用图形的对称性证明三角形全等，利用勾股定理进行相关计算．