Question

18．如图，圆内接△ABC中，AB=AC，经过点A的弦与BC和$\widehat{BC}$分别交于点D和E．求证：AB•AC=AD•AE．

Answer 1

分析 由等腰三角形的性质和圆周角定理证出∠ABC=∠E，再由公共角可知△ABD∽△AEC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 证明：连接BE，如图所示，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠E=∠C，
∴∠ABC=∠E，
又∵∠BAD=∠EAB
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AB•AC=AD•AE．

点评 本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；证明三角形相似是解决问题的关键．