Question

13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C分别在y轴、x轴上，点B在第一象限，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+4x+6经过A、B两点．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）将线段CB沿着过点C的直线l对折，点B恰好落在矩形的对角线AC上，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式求得点A的坐标，然后结合矩形的性质和抛物线的性质可以求得点B、C的坐标；
（2）根据对称性和勾股定理可以求得点E的坐标，从而可以求得直线l的解析式．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+4x+6，
∴当x=0时，y=6，
∴A（0，6）．
又y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+4x+6=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+14，
∴该抛物线的对称轴是x=4，
∴点A、B关于直线x=4对称，
∴B（8，6），
∴C（8，0）．
（2）如右图所示，
由已知可得，DE=BE，CD=CB，
∵A（0，6），B（8，6），点C（8，0），
∴BC=6，OC=8，
∴AC=10，CD=6，
∴AD=4，
设AE=a，
∴EB=8-a，
∴DE=8-a，
∴4²+（8-a）²=a²，
解得，a=5，
∴点E的坐标为（5，6）
设过点C（8，0），点E（5，6）的直线l的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=16}\end{array}\right.$，
即直线l的解析式为：y=-2x+16．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问需要的条件．