Question

3．如图，在等边△ABC中，点F是AC边上一点，延长BC到点D，使BF=DF，若CD=CF，求证：
（1）点F为AC的中点；
（2）过点F作FE⊥BD，垂足为点E，请画出图形并证明BD=6CE．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，利用∠CFD=∠D，则根据三角形外角性质得到∠ACB=2∠D，即∠D=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，然后利用FB=FD得到∠FBD=∠D=30°，则BF平分∠ABC，于是根据等边三角形的性质可得到点F为AC的中点；
（2）如图，过点F作FE⊥BD于E，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CF=2CE，而CD=CF，则CF=2CE，再利用BC=2CF，所以BD=6CE．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵CF=CD，
∴∠CFD=∠D，
∴∠ACB=2∠D，即∠D=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵FB=FD，
∴∠FBD=∠D=30°，
∴BF平分∠ABC，
∴AF=CF，即点F为AC的中点；
（2）如图，
在Rt△EFC中，CF=2CE，
而CD=CF，
∴CF=2CE，
在Rt△BCF中，BC=2CF，
∴BC=4CE，
∴BD=6CE．

点评 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段．作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．记住含30度的直角三角形三边的关系．