Question

10．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将AB边绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，将AC边绕点C顺时针旋转90°后得到线段CE，AE与BD交于点F，若DF=$\sqrt{2}$，EF=2$\sqrt{2}$，则BC边的长为$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 因为由旋转的性质可知△ABD与△ACE是等腰直角三角形，为建立与已知边长DF、FE的联系，故想到过点C作CG⊥BC，交BD于点G，连接EG，接着证明
△ABC≌△EGC、△AFD≌△EFG，从而求出AE与DG的长，设BC=a，则用含a的式子表示AB，然后根据勾股定理求得BC 的长．

解答 解：如下图所示：

过点C作CG⊥BC，交BD于点G，连接EG，
易证CG=BC，∠BCA=∠GCE，AC=CE，
∴△ABC≌△EGC，
∴GE=AB=AD，∠CEG=∠CAB，
∵∠DAE=90°-45°-∠BAC=45°-∠BAC，而∠AEG=45°-∠CEG，
∴∠DAE=∠AEG
又∵∠AFD=∠EFG（对顶角相等），GE=AD，
∴△AFD≌△EFG，
∴AF=EF，DF=GF，
∴AE=2EF=4$\sqrt{2}$，DG=2$\sqrt{2}$，
∴AC=CE=4
设BC=CG=a，则BG=$\sqrt{2}$a
∴BD=$\sqrt{2}$a+2$\sqrt{2}$，AD=AB=a+2，
在RT△ABC中，（a+2）²+a²=4²，
解得a=-$\sqrt{7}$-1（舍去）或a=$\sqrt{7}-1$，
   即：BC边的长为$\sqrt{7}$-1

点评 本题考查了图形的旋转的性质、全等三角形的判定及性质的应用，解题的关键是建立与题目已知条件相联系的辅助线，构造全等三角形，转移相等关系．